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結晶系
\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} orthorhombic-pyramidal C2v mm2 *22 [2] polar 4 Klein four V = Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {V}
tag:
displaystyle
orthorhombic
pyramidal
mathbb
Klein
polar
times
four
数に関する記事の一覧
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } ) - 正の数と負の数 有理数( Q {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} } ) 整数( Z {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} } ) - 奇数 - 偶数
tag:
displaystyle
scriptstyle
有理数
mathbb
偶数
奇数
整数
自然数
\mathbb {N} } と表される。 0 を含むかどうかの曖昧さを避けるために、正の整数(0 を含まない)を次のように表すこともある: N+ ( N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} ) または N+ ( N + {\displaystyle \mathbb {N}
tag:
displaystyle
mathbb
整数
曖昧
避ける
ある
含ま
含む
表さ
表す
有理数
{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {N} ,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}=\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {N}
tag:
displaystyle
mathbb
right
left
over
関数 (数学)
x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列 ( s n ) n ∈ N ∈ R N {\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} を考えれば、それは各自然数
tag:
displaystyle
かたち
mathbb
有限
無限
自然
考えれ
表す
トマエ関数
\quad x\in \mathbb {Q} \setminus \{0\},p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ,\gcd(p,q)=1),\\1&(x=0),\\0&(x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ).\end{cases}}}
tag:
setminus
mathbb
cases
quad
確率分布
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 上で定義された確率測度のことである。 同様に d 次元確率分布とは ( R d , B ( R d ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},{\mathcal
tag:
mathcal
displaystyle
mathbb
同様
次元
測度
代数多様体
は射影直線 P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} の関数体にほかならないので、この X と P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} は本質的に同じ図形と見なされるべきである。更に
tag:
displaystyle
mathbb
図形
本質
直線
関数
ほかなら
見なさ
整数
−2, −3, −4, …) の総称である。 整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の Z {\displaystyle \mathbb {Z} } で表す。これはドイツ語 Zahlen(「数」の意・複数形)に由来する。 抽象代数学、特に代数的整数論では、しばしば「代数体の整数環
tag:
ドイツ
displaystyle
Zahlen
mathbb
代数
太字
普通
複数
黒板
する
なる
表す
倍数
3a, … だけを考えることも多い。 整数全体からなる集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を用いると、a の倍数は a Z {\displaystyle a\mathbb {Z} } である。 2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14
tag:
displaystyle
mathbb
整数
用いる
考える
なる
多い
集合
{\displaystyle \mathbb {N} } は自然数全体の集合を表す。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } は整数全体の集合を表す。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は有理数全体の集合を表す。 R {\displaystyle \mathbb {R} }
tag:
displaystyle
有理数
mathbb
整数
自然
表す
極限
{\displaystyle \forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ n_{0}\in \mathbb {N} \ {\textrm {s.t.}}\ \forall n\in \mathbb {N} \left[n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\varepsilon
tag:
varepsilon
displaystyle
Rightarrow
exists
forall
mathbb
textrm
alpha
left
チャーン・ヴェイユ準同型
{\displaystyle \mathbb {K} } により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を持っているとする。 K ( g ∗ ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak
tag:
mathfrak
リー
displaystyle
複素数
mathbb
代数
実数
複素
する
持っ
表す
エピグラフ (数学)
{\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,\mu \in \mathbb {R} ,\,\mu \geq f(x)\}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}} なる領域を指す。狭義には不等号から等式を外して epi
tag:
displaystyle
不等号
subseteq
mathbb
狭義
等式
領域
mbox
なる
外し
指す
複素数
{\displaystyle \mathbb {R/Z} \to \mathbb {U} ;\;x+\mathbb {Z} \mapsto e^{2\pi ix}} および写像 C ∗ → R + ∗ × U ; r e i θ ↦ ( r , e i θ ) {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\to
tag:
displaystyle
mapsto
mathbb
上半平面
H = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y>0\}} または H = H + = H + = { z ∈ C ∣ ℑ z > 0 }
tag:
displaystyle
mathbb
超準解析
\mathbb {Q} /\mathbb {Z} } は有限巡回群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } たちの和集合と見做すことが出来る。ここで Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb
tag:
mathbb
displaystyle
有限
出来る
リーマン形式
_{\mathbb {R} }\colon \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}\rightarrow \mathbb {R} } は、 C g × C g {\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C}
tag:
displaystyle
rightarrow
mathbb
colon
times
射影空間
{\displaystyle H_{i}(\mathbb {R} P_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &i\equiv 1\;{\mbox{(mod 2)}},\;0\leq i\leq n\\\mathbb {Z} &i=n\equiv
tag:
equiv
displaystyle
mathbb
begin
cases
mbox
円分体
\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{m})/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /p_{1}^{e_{1}}\mathbb {Z} )^{\times
tag:
times
operatorname
mathbb
cong
zeta
フーリエ変換
R ) → L 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\colon L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )} はユニタリ作用素である。フーリエ変換の多くの性質はこの場合にもそのまま成立する。ハウスドルフ・ヤング不等式を用いて
tag:
ハウスドルフ・ヤング
displaystyle
ユニタリ
不等式
作用素
mathcal
mathbb
性質
colon
する
用い
代数体
field)とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 [ K : Q ] {\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]} を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
tag:
field
displaystyle
有理数
mathbb
ベキ
有限
次代
次数
いい
いう
写像
\colon \mathbb {C} \ni z\mapsto a\in \mathbb {R} } , I m : C ∋ z ↦ b ∈ R {\displaystyle \mathrm {Im} \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto b\in \mathbb {R} }
tag:
displaystyle
mapsto
mathbb
mathrm
colon
円周群
の複素数(単位複素数)全体(つまり複素数平面上の単位円) T = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}} の成す乗法群 (T, ×)(ふつうはこれを単に、乗法群 T と呼ぶ)を言う。円周群 T は、非零複素数全体の成す乗法群
tag:
displaystyle
ふつう
複素数
mathbb
乗法
単位
平面
呼ぶ
成す
言う
ネーター環
[ x ] ⊕ Z [ x ] y {\displaystyle R=\mathbb {Z} [x]\oplus \mathbb {Z} [x]y} と直和分解し、 Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]} は部分環であるがヒルベルトの基底定理(後述)よりネーター環なので、R
tag:
ヒルベルト
直和
displaystyle
mathbb
基底
定理
部分
oplus
確率変数
はそれぞれ可測空間)(#測度論的定義も参照)。E は通常 R {\displaystyle \mathbb {R} } または N {\displaystyle \mathbb {N} } (や Z {\displaystyle \mathbb {Z} } )である。そうでない場合は確率要素として考察する(概念の拡張
tag:
displaystyle
mathbb
概念
測度
空間
要素
通常
する
微分
) {\displaystyle D^{k}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\,\mathbb {R} ^{m})} なる写像として解釈することができる。この写像は点
tag:
displaystyle
mathbb
cdots
colon
times
できる
する
多項式
{\textstyle \mathbb {Q} } 上で既約だが、実数体 R {\textstyle \mathbb {R} } 上では可約である。x2 + 1 は R {\textstyle \mathbb {R} } 上で既約だが、複素数体 C {\textstyle \mathbb {C} } 上で可約である。
tag:
textstyle
mathbb
実数
複素
素数
一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される(そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる)。このため、有理整数環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } での素数は有理素数(ゆうりそすう、英: rational prime)と呼ばれることもある。 最小の素数は 2
tag:
displaystyle
rational
mathbb
一般
代数
整数
最小
有理
prime
ある
うり
すう
含ま
呼ば
多重指数
a_{\alpha }\colon \mathbb {X} ^{n}\to \mathbb {X} } ( X = C , R {\displaystyle \mathbb {X} =\mathbb {C} ,\mathbb {R} } ).とする。 多項定理 ( ∑ i = 1 n x i ) k
tag:
displaystyle
mathbb
多項
定理
alpha
colon
する
位相空間
R 1 , R 2 , … {\displaystyle \mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots } を R {\displaystyle \mathbb {R} } の(可算)無限個のコピーとし、 U 1 , U 2 , … {\displaystyle
tag:
displaystyle
mathbb
可算
無限
ldots
群 (数学)
⋯ × Z / e n Z {\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /e_{1}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /e_{n}\mathbb {Z} } と巡回群の直積に分解する。このような ei たちは一意的に定まる。
tag:
displaystyle
一意的
mathbb
直積
cdots
times
cong
定まる
する
情報理論
∑ m ∈ M p ( m ) log p ( m ) {\displaystyle H(M)=\mathbb {E} _{M}[-\log p(m)]=-\sum _{m\in \mathbb {M} }p(m)\log p(m)} エントロピーの重要な特徴として、メッセージ空間内の全メッセー
tag:
エントロピー
メッセージ
displaystyle
メッセー
mathbb
特徴
空間
重要
数学記号の表
\mathbb {Z} } 整数 (独: Zahlen)の全体 Q , Q {\displaystyle \mathbf {Q} ,\ \mathbb {Q} } 有理数 (Quotient)の全体 R , R {\displaystyle \mathbf {R} ,\ \mathbb {R}
tag:
displaystyle
有理数
Quotient
Zahlen
mathbb
mathbf
整数
複素数空間
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\mid z_{i}\in \mathbb {C} \}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \dotsb \times \mathbb {C} }
tag:
displaystyle
underbrace
mathbb
dotsb
ldots
times
局所体
{\displaystyle U\simeq \mu (K)\times \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }\simeq (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }} である。 また、主単数群 U(1) は、以下の様に分解される。
tag:
displaystyle
mathbb
単数
oplus
simeq
times
順序集合
{\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }} と書かれ、ゾルゲンフライ直線と呼ばれる。またゾルゲンフライ直線2つの直積 R ℓ × R ℓ {\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }}
tag:
ゾルゲンフライ
displaystyle
mathbb
直積
直線
2つ
times
呼ば
書か
代数的数
\mathbb {I} } に対して、以下が成り立つ。 I ∩ Q = Z {\displaystyle \mathbb {I} \cap \mathbb {Q} =\mathbb {Z} } (つまり、有理数である代数的整数は、有理整数である。 Z {\displaystyle \mathbb {Z}
tag:
displaystyle
有理数
mathbb
整数
有理
成り立つ
一般線型群
{\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )=\left\{\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {M} _{2}(\mathbb {C} )\mid ad-bc\neq 0\,\right\}}
tag:
displaystyle
operatorname
pmatrix
mathbb
begin
right
left
基数
number)という。ここでは基数全体からなるクラスを C N {\displaystyle \mathbb {CN} } とかく。 C N {\displaystyle \mathbb {CN} } は真のクラスである。 基数の間の大小関係を κ ≤ λ ⇔ 「X、Y が κ = | X
tag:
number
displaystyle
クラス
mathbb
大小
いう
かく
なる
確率論
P(X\in A)} と略記される。一般的な ( R d , B ( R d ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d}))} 上の確率測度も分布と呼ばれる。 コインを投げて裏と表が出る確率がそれぞれ 1/2
tag:
displaystyle
コイン
mathcal
mathbb
一般
測度
出る
呼ば
投げ
可算集合
との間に次の全単射が存在する。 f : N → 2 N ( x ↦ 2 x ) {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to 2\mathbb {N} \ (x\mapsto 2x)} よって、2N は可算集合である。また、整数全体の集合 Z や有理数全体の集合 Q も可算である。しかし、実数全体の集合
tag:
displaystyle
有理数
mapsto
mathbb
実数
整数
colon
する
よっ
ディリクレの関数
Q ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&(x\in \mathbb {Q} )\\0&(x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} )\end{cases}}} ただし、Q は有理数全体の成す集合である。
tag:
smallsetminus
displaystyle
有理数
mathbb
begin
cases
成す
正規拡大
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の正規拡大である。なぜならば、x2 − 2 の分解体だからである。一方、 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}
tag:
displaystyle
mathbb
sqrt
サイコロ
f(ただし f ∈ Z {\displaystyle f\in \mathbb {Z} } かつ 0 ≤ f)、面数を p(ただし p ∈ Z {\displaystyle p\in \mathbb {Z} } かつ 1 ≤ p)とし、各回の出目の和を合計値とすると、一般に以下の式で求められる。例として、3D6
tag:
displaystyle
mathbb
出目
各回
する
求め
ユニタリ群
{GL} (n,\mathbb {C} )\mid \forall x,y\in \mathbb {C} ^{n}:\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle \,\}\\&=\{\,U\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\mid
tag:
operatorname
forall
langle
mathbb
rangle
効用
{\displaystyle u(a)\geq u(b)} を満たす実数値関数 u : S → R {\displaystyle u:S\rightarrow \mathbb {R} } の値である。 古典派経済学およびマルクス経済学は商品の価格が供給側(企業)の労働投入量のみによって決定されるという「労働価値説」(
tag:
マルクス
displaystyle
rightarrow
mathbb
企業
価値
価格
古典
商品
実数
経済
関数
満たす
確率過程
[0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} や整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を考える。 X を S に値をとる確率過程とする。すべての有限列 T ′ = ( t 1
tag:
ユークリッド
displaystyle
mathbb
整数
有限
状態
空間
考える
する
とる
考え
直線
a ∣ λ ∈ R } {\displaystyle L=\{P+\lambda \mathbf {a} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}} で表されるような集合 L を直線という(これは一般のベクトル空間にも拡張できる)。この定義においては直線は向きを持つものとみなされる。a
tag:
displaystyle
ベクトル
lambda
mathbb
mathbf
一般
向き
空間
できる
みなさ
持つ
表さ
畳み込み
R ) → L r , w ( R ) {\displaystyle L^{p,w}(\mathbb {R} )\times L^{q,w}(\mathbb {R} )\to L^{r,w}(\mathbb {R} )} とも見られる. コンパクト台付きや可積分な函数と同様に、函数が無限遠で十分
tag:
コンパクト
displaystyle
mathbb
函数
同様
無限
times
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