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結晶系

\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} orthorhombic-pyramidal C2v mm2 *22 [2] polar 4 Klein four V = Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {V}

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数に関する記事の一覧

{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } ) - 正の数と負の数有理数( Q {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} } ) 整数( Z {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} } ) - 奇数 - 偶数

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自然数

\mathbb {N} } と表される。 0 を含むかどうかの曖昧さを避けるために、正の整数（0 を含まない）を次のように表すこともある: N+ ( N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} ) または N+ ( N + {\displaystyle \mathbb {N}

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有理数

{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {N} ,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}=\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {N}

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関数 (数学)

x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列 ( s n ) n ∈ N ∈ R N {\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} を考えれば、それは各自然数

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トマエ関数

\quad x\in \mathbb {Q} \setminus \{0\},p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ,\gcd(p,q)=1),\\1&(x=0),\\0&(x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ).\end{cases}}}

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確率分布

{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 上で定義された確率測度のことである。同様に d 次元確率分布とは ( R d , B ( R d ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},{\mathcal

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代数多様体

は射影直線 P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} の関数体にほかならないので、この X と P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} は本質的に同じ図形と見なされるべきである。更に

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整数

−2, −3, −4, …) の総称である。整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の Z {\displaystyle \mathbb {Z} } で表す。これはドイツ語 Zahlen（「数」の意・複数形）に由来する。抽象代数学、特に代数的整数論では、しばしば「代数体の整数環

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倍数

3a, … だけを考えることも多い。整数全体からなる集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を用いると、a の倍数は a Z {\displaystyle a\mathbb {Z} } である。 2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14

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集合

{\displaystyle \mathbb {N} } は自然数全体の集合を表す。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } は整数全体の集合を表す。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は有理数全体の集合を表す。 R {\displaystyle \mathbb {R} }

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極限

{\displaystyle \forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ n_{0}\in \mathbb {N} \ {\textrm {s.t.}}\ \forall n\in \mathbb {N} \left[n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\varepsilon

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チャーン・ヴェイユ準同型

{\displaystyle \mathbb {K} } により実数もしくは複素数を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を持っているとする。 K ( g ∗ ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak

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エピグラフ (数学)

{\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,\mu \in \mathbb {R} ,\,\mu \geq f(x)\}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}} なる領域を指す。狭義には不等号から等式を外して epi

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複素数

{\displaystyle \mathbb {R/Z} \to \mathbb {U} ;\;x+\mathbb {Z} \mapsto e^{2\pi ix}} および写像 C ∗ → R + ∗ × U ; r e i θ ↦ ( r , e i θ ) {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\to

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上半平面

H = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y>0\}} または H = H + = H + = { z ∈ C ∣ ℑ z > 0 }

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超準解析

\mathbb {Q} /\mathbb {Z} } は有限巡回群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } たちの和集合と見做すことが出来る。ここで Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb

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リーマン形式

_{\mathbb {R} }\colon \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}\rightarrow \mathbb {R} } は、 C g × C g {\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C}

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射影空間

{\displaystyle H_{i}(\mathbb {R} P_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &i\equiv 1\;{\mbox{(mod 2)}},\;0\leq i\leq n\\\mathbb {Z} &i=n\equiv

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円分体

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{m})/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /p_{1}^{e_{1}}\mathbb {Z} )^{\times

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フーリエ変換

R ) → L 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\colon L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )} はユニタリ作用素である。フーリエ変換の多くの性質はこの場合にもそのまま成立する。ハウスドルフ・ヤング不等式を用いて

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代数体

field）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 [ K : Q ] {\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]} を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。

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写像

\colon \mathbb {C} \ni z\mapsto a\in \mathbb {R} } , I m : C ∋ z ↦ b ∈ R {\displaystyle \mathrm {Im} \colon \mathbb {C} \ni z\mapsto b\in \mathbb {R} }

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円周群

の複素数（単位複素数）全体（つまり複素数平面上の単位円） T = { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}} の成す乗法群 (T, ×)（ふつうはこれを単に、乗法群 T と呼ぶ）を言う。円周群 T は、非零複素数全体の成す乗法群

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ネーター環

[ x ] ⊕ Z [ x ] y {\displaystyle R=\mathbb {Z} [x]\oplus \mathbb {Z} [x]y} と直和分解し、 Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]} は部分環であるがヒルベルトの基底定理（後述）よりネーター環なので、R

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確率変数

はそれぞれ可測空間）（#測度論的定義も参照）。E は通常 R {\displaystyle \mathbb {R} } または N {\displaystyle \mathbb {N} } （や Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ）である。そうでない場合は確率要素として考察する（概念の拡張

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微分

) {\displaystyle D^{k}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\,\mathbb {R} ^{m})} なる写像として解釈することができる。この写像は点

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多項式

{\textstyle \mathbb {Q} } 上で既約だが、実数体 R {\textstyle \mathbb {R} } 上では可約である。x2 + 1 は R {\textstyle \mathbb {R} } 上で既約だが、複素数体 C {\textstyle \mathbb {C} } 上で可約である。

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素数

一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される（そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる）。このため、有理整数環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } での素数は有理素数（ゆうりそすう、英: rational prime）と呼ばれることもある。最小の素数は 2

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多重指数

a_{\alpha }\colon \mathbb {X} ^{n}\to \mathbb {X} } ( X = C , R {\displaystyle \mathbb {X} =\mathbb {C} ,\mathbb {R} } ).とする。多項定理 ( ∑ i = 1 n x i ) k

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位相空間

R 1 , R 2 , … {\displaystyle \mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots } を R {\displaystyle \mathbb {R} } の(可算)無限個のコピーとし、 U 1 , U 2 , … {\displaystyle

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群 (数学)

⋯ × Z / e n Z {\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /e_{1}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /e_{n}\mathbb {Z} } と巡回群の直積に分解する。このような ei たちは一意的に定まる。

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情報理論

∑ m ∈ M p ( m ) log ⁡ p ( m ) {\displaystyle H(M)=\mathbb {E} _{M}[-\log p(m)]=-\sum _{m\in \mathbb {M} }p(m)\log p(m)} エントロピーの重要な特徴として、メッセージ空間内の全メッセー

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数学記号の表

\mathbb {Z} } 整数 (独: Zahlen)の全体 Q , Q {\displaystyle \mathbf {Q} ,\ \mathbb {Q} } 有理数 (Quotient)の全体 R , R {\displaystyle \mathbf {R} ,\ \mathbb {R}

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複素数空間

{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\mid z_{i}\in \mathbb {C} \}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \dotsb \times \mathbb {C} }

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局所体

{\displaystyle U\simeq \mu (K)\times \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }\simeq (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }} である。また、主単数群 U(1) は、以下の様に分解される。

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順序集合

{\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }} と書かれ、ゾルゲンフライ直線と呼ばれる。またゾルゲンフライ直線２つの直積 R ℓ × R ℓ {\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }}

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代数的数

\mathbb {I} } に対して、以下が成り立つ。 I ∩ Q = Z {\displaystyle \mathbb {I} \cap \mathbb {Q} =\mathbb {Z} } （つまり、有理数である代数的整数は、有理整数である。 Z {\displaystyle \mathbb {Z}

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一般線型群

{\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )=\left\{\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {M} _{2}(\mathbb {C} )\mid ad-bc\neq 0\,\right\}}

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基数

number）という。ここでは基数全体からなるクラスを C N {\displaystyle \mathbb {CN} } とかく。 C N {\displaystyle \mathbb {CN} } は真のクラスである。基数の間の大小関係を κ ≤ λ ⇔ 「X、Y が κ = | X

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確率論

P(X\in A)} と略記される。一般的な ( R d , B ( R d ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d}))} 上の確率測度も分布と呼ばれる。コインを投げて裏と表が出る確率がそれぞれ 1/2

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可算集合

との間に次の全単射が存在する。 f : N → 2 N ( x ↦ 2 x ) {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to 2\mathbb {N} \ (x\mapsto 2x)} よって、2N は可算集合である。また、整数全体の集合 Z や有理数全体の集合 Q も可算である。しかし、実数全体の集合

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ディリクレの関数

Q ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&(x\in \mathbb {Q} )\\0&(x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} )\end{cases}}} ただし、Q は有理数全体の成す集合である。

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正規拡大

{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の正規拡大である。なぜならば、x2 − 2 の分解体だからである。一方、 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}

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サイコロ

f（ただし f ∈ Z {\displaystyle f\in \mathbb {Z} } かつ 0 ≤ f）、面数を p（ただし p ∈ Z {\displaystyle p\in \mathbb {Z} } かつ 1 ≤ p）とし、各回の出目の和を合計値とすると、一般に以下の式で求められる。例として、3D6

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ユニタリ群

{GL} (n,\mathbb {C} )\mid \forall x,y\in \mathbb {C} ^{n}:\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle \,\}\\&=\{\,U\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\mid

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効用

{\displaystyle u(a)\geq u(b)} を満たす実数値関数 u : S → R {\displaystyle u:S\rightarrow \mathbb {R} } の値である。古典派経済学およびマルクス経済学は商品の価格が供給側(企業)の労働投入量のみによって決定されるという「労働価値説」（

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確率過程

[0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} や整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を考える。 X を S に値をとる確率過程とする。すべての有限列 T ′ = ( t 1

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直線

a ∣ λ ∈ R } {\displaystyle L=\{P+\lambda \mathbf {a} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}} で表されるような集合 L を直線という（これは一般のベクトル空間にも拡張できる）。この定義においては直線は向きを持つものとみなされる。a

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畳み込み

R ) → L r , w ( R ) {\displaystyle L^{p,w}(\mathbb {R} )\times L^{q,w}(\mathbb {R} )\to L^{r,w}(\mathbb {R} )} とも見られる. コンパクト台付きや可積分な函数と同様に、函数が無限遠で十分